Imbrication

 

Si les astres étaient immobiles, le temps et l'espace n'existeraient plus.  (Maurice Maeterlinck)

 

Et pourtant, ils semblent figés dans le temps et l’espace. Mais la vie est en eux comme un cœur qui bat, ordonné, réglé, construit. Et si cet agencement bouge si peu que ce soit, tout s’écroule et le monde perd un astre de la même manière que l’humanité perd un homme.

 

 

Usinage

 

Il se laissa gagner par l'enchevêtrement des nombres et garda sur l'objet son oeil clairvoyant. Mais lequel prédomine l'autre, il ne le sut jamais. Cependant, de cet amas il perçoit malgré tout une certaine luminosité intérieure qui éclaire son approche et lui donne un air de fête.

Quel Beaubourg m'a piqué pour dessiner de pareilles choses !

 

Convergence et divergence

 

Dessin fait dans la fièvre combinant une construction convergent vers le centre sortant d’une construction divergente, émergeant elle-même d’un vide spatial.

Elle traverse notre vision et s’en va…

 

 

 

Perspective inversée 2

  

Quelle confusion ! Où est donc passée la perspective ? Regard au centre : c’est le sommet des quatre losanges à fond jaune, mais c’est aussi le point de départ des quatre losanges étroit à fond blanc. De plus les quatre losanges à fond jaune inversent leur perspective en leur milieu pour rejoindre l’envolée vers l’extérieur sur le pourtour du dessin.

Dessin ésotérique, il fait apparaître une puissance insolite émanant de son centre qu’il projette sur l’horizon du globe. Au-delà, la platitude en deux dimensions, mais illuminée de ce rayonnement.

Malheureusement, les couleurs sont plus pâles que dans la réalité!

 

 

Ivresse des profondeurs,
Solitude des extrêmes,
L’opposé se rejoint
En un espace ignoré
Entre les deux,
Toujours le juste milieu
Dans ce cercle magique
S’installe une vision
Qui ne sait où se tourner
Rien n’y est possible
Et pourtant, elle existe
Entre les sommets je vole
Empruntant les arêtes
Pour naviguer incognito
Dans ce monde fini
Mais incompréhensible
J’aime ses allers et retours
Dans la chaleur projetée
D’un vide incommensurable
Mais combien prenant

 

 

Labyrinthe d'escaliers

 

Pour Jacques Attali, il existe un langage avant l’écriture qui permet à l’homme de communiquer. C’est le labyrinthe. Il est le symbole de la perplexité de l’homme face aux mystères du monde. Cette représentation symbolique de l’espace devient non espace en raison de l’absurdité de ses dédales. Et là encore, c’est la géométrie et la symétrie qui trompent les sens de l’homme et le projettent dans un monde apparemment cohérent, mais incongru dès qu’on tente d’y entrer.

Symétrie haut-bas, symétrie droite-gauche, ce faux labyrinthe semble une construction finie, mais qui conduit à l’absurde de la marche en avant, comme la marche de l’homme dans la vie. Où vais-je ? Le savez-vous ?

Et tout cela, bien sûr, grâce aux cubes de Penrose, une fois de plus !

 

 

 

 

Pavage de Penrose

 

Penrose est un mathématicien  et physicien britannique qui a largement contribué à l’élaboration de la théorie de la relativité générale pour ce qui concerne la cosmologie et l’étude des trous noirs.

Il est connu pour sa découverte en 1974 de pavages constitués de deux formes et permettant de couvrir en entier un plan de manière non périodique. Les pavages de Penrose présentent une symétrie d'ordre 5 (invariance par rotation d'angle de 72 degrés). Ils ne sont pas périodiques, c'est-à-dire qu'on ne peut les décrire comme un motif répété sur une grille régulière. Ils sont cependant quasi-périodiques, c'est-à-dire que tout motif apparaissant dans le pavage réapparaît régulièrement.

 

 

Le pavage de type 0 se construit avec des triangles d’or (voir le nombre d’or, publié le 14 février). En découpant un premier triangle d'or (aigu ou obtus, peu importe) et en opérant un agrandissement d'un facteur φ, puis en recommençant l'opération précédente une infinité de fois, on constitue un pavage complet du plan à l'aide des deux types de triangles d'or. On peut donc paver des triangles d’or par des triangles d’or.

 

 

 

 

 

 Le pavage de type 1 permet de couvrir un plan avec des pentagones en ajoutant trois pièces qui permettent de combler les trous. Ce sont un losange, un pentagramme et un bateau.

 

 

 

 

  Le pavage de type 2 est constitué de cerfs-volants et de fléchettes, construits à partir de triangles d’or. Cela ne permet de générer qu’un seul type de pavage. Il est facile de prouver que, comme pour les triangles d'or, la proportion entre le nombre de cerfs-volants et celui de fléchettes tend vers le nombre d'or φ, ce qui assure que le pavage ainsi construit n'est pas périodique.

 

  

Le pavage de type 3 permet de paver le plan à l'aide de deux figures géométriques simples comme les deux losanges suivants.

Ce qui donne :

 

 

Penrose a rendu le rêve mathématique. L'imagination peut peupler le monde réel de figures ordonnées, mais d'une symétrie particulière. Quelles belles fleurs dans le jardin de l'univers !

 

 

Cubes de Penrose

 

Une application du pavage de Penrose, mathématicien évoqué le 13 février. Il s'agit ici de parallélépipèdes accolés deux à deux. Cela n'a l'air de rien, mais ce n'est pas évident à construire. Mais cette construction ne peut exister dans la réalité. Et pourtant, c'est du plus bel effet !

 

 

 

Le nombre d'or

 

Première partie d'une recherche qui conduit à créer des dessins géométriques aux formes bizarres et parfois non périodiques, c'est-à-dire sans reconduction par imitation d'un élément de figure sur l'autre.

Ouvrez le fichier :

Le nombre d'or.doc

 

Nous verrons comment certains mathématiciens se sont intéressés au dessin géométrique et ce qu'ils en ont tiré, en particulier Penrose qui a inventé ses pavages non périodiques.

 

Croisillons décoratifs

 

Simple et décoratif. Et pourtant… Regardez de plus près.

Le motif est effectivement simple :

 

 

Mais chaque motif s’emboite dans le précédent et le suivant, de tous côtés, en 3 dimensions, et ce de deux manières :

 

 

Pour finir on arrive à un effet d’ensemble assez inédit, en incorporant deux fonds :

 

 

Ce n'est cependant que décoratif !

 

 

Pentaèdre

 

Cet enchevêtrement de pentaèdres (polyèdre à cinq faces) est impossible dans la réalité. Il commence au centre sur une étoile, engendrée par un croisement entre les faces quadrilatérales avec les faces triangulaires. Puis chacune des faces quadrilatérales engendre le départ d’une des faces triangulaires d’un nouveau polyèdre, parce que de la même longueur, et ainsi de suite. Ce qui donne une véritable composition de pentaèdres qui devient difficile à suivre plus l’on s’éloigne du centre.

Mais où va-t-il chercher cela ?

La géométrie est un des aspects les plus intéressants des mathématiques, probablement en raison des facéties que l’on peut introduire dans ses représentations.

 

 

 

Ondes à angles

 

Jetez un caillou dans l’eau. Les ondes se propagent et s’amplifient jusqu’à se perdre dans l’immensité de la surface liquide. Et si elles prenaient des angles, cela pourrait donner quelque chose de semblable à ce dessin.

On peut d’ailleurs imaginer qu’il continue jusqu’à ne plus être que des carrés noirs.

Tiens, quelle bonne idée, je vais essayer. Ce sera pour une autre fois !

 

Symcar

 

Une fois encore un édifice logique, mais impossible. Ces tours ne peuvent exister à côté d'une pyramide centrale. Quand au dallage, en est-il vraiment un ?

Mais comme c'est amusant de jouer avec toutes ces possibilités qui restent malgré tout virtuelles.

 

 

 

Tremblement

 

Un frémissement d’ondes, imperceptible, qui modifie la structure de deux plans divergents et deux autres convergents. L’on s’y perd. Au centre, un assemblage insolite dont on arrive difficilement à comprendre la construction.

Et pourtant, dans cette simplicité du dessin, il y a une harmonie certaine, un attrait pour l’œil qu’on ne peut définir.

 

Cubpyr

 

Le cube est un volume simple. Il est beaucoup plus qu'une surface, c'est un monde en soi. Sa démultiplication harmonieuse étend ce monde sans le déformer, lui conservant sa pureté originelle. Monde géométrique qui possède sa propre élégance, discrète, voilée, en catimini. Deux cités altières et symétriques qui se regardent l’un l’autre entre des champs en pentes douces.

Ce monde est à l’image de la modernité, mais une modernité sans soif, sans prédation, sans égoïsme des hommes. Un monde dur, c’est vrai, mais droit et sans fausseté.

 

 

 

 

 

Le trait avant le volume

 

Le trait avant le volume. Rien n'est fermé. L'espace reste ouvert, infini. Il n'est pas plein d'une forme, mais il n'est pas non plus vide. Et cet enchevêtrement est déjà le signe d'une vie, d'une méditation sur la vie. Il n'est pas encore une figure indépendante de son environnement, mais il contient le fil qui, en se fermant, le fera monde en soi.